Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress - Phần 2

Phần hai sẽ tổng hợp thêm 20 bái toán nữa từ báo Vnexpress.net. Đây là chuyên mục dành cho những ai đam mê với toán học vì để giải phần lớn những bài toán này thì cần có kiến thức chuyên môn nhất định. Đây không phải dạng toán dành cho tất cả mọi người! Hy vọng bài viết này sẽ hữu  ích đối với các bạn đam mê toán.

>>>> Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress - Phần 1

1. Bài toán đếm số đoạn thẳng của một trái bóng

Một quả bóng đá có 32 mặt gồm các ngũ giác đều và lục giác đều. Hỏi trên mặt quả bóng có bao nhiêu đoạn thẳng?

Giả sử trái bóng có m mặt ngũ giác đều và n mặt lục giác đều thì

m + n = 32 (1).

Ta sẽ tính tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo 2 cách khác nhau.

Tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo các mặt ngũ giác là:

5m + 5m/2 = 15m/2

Tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo các mặt lục giác là:

6n – 3n/2 = 9n/2

Ta có phương trình 15m/2 = 9n/2

Tương đương 5m = 3n (2)

Từ (1) và (2) suy ra n = 20, m = 12.

Vậy tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng là: 9n/2 = (9 x 20)/2 = 90.

Bài thơi từ độc giả Nguyễn Khắc An của vnexpress:

Ngồi buồn lấy bóng tính chơi
Xem bao nhiêu mảnh cuộc đời trắng đen
Tròn mà cũng lắm bon chen
Ba mươi hai miếng tuổi tên rõ ràng

Thằng đen ngũ giác không hàng
Trắng thì lục giác lang thang rất đều
Đếm hoài mà vẫn tùng phèo
Bao nhiêu đoạn thẳng bám theo bọn này?

Thôi thì lấy bút ra đây
Làm thử phép toán cùng mày một phen
Đầu tiên, ta phải phải xướng lên
Tỷ lệ miếng trắng miếng đen thế nào

Thôi thì giả bộ cầm dao
Cắt đen năm miếng áp vào xung quanh
Bỗng nhiên thấy rõ rành rành
Ba em tam giác theo anh trắng rồi

Nhẩm đi nhẩm lại một hồi
Năm ông anh trắng ấy thời ba đen
Quy đồng mẫu số nhân lên
Hai mươi miếng trắng nằm bên thầm thì

Ô kìa một tá đen sì
Tròn mười hai miếng kiểu gì vậy ta
Lục năm, ngũ sáu thì ra
Trăm tám mươi đoạn thật là giản đơn

Đời ai như quả bóng tròn
Chia đôi mới biết chỉ còn chín mươi
Cuối tuần xin một nụ cười
Nhớ bài toán khó quên người trắng đen.

2. Bài toán tìm chữ số cuối cùng

Từ số 12345678901234567890...1234567890 (có 5.000 chữ số trong số này), hãy bỏ bớt tất cả chữ số nằm ở hàng lẻ.

Với số có 2.500 chữ số còn lại, ta cũng tiếp tục làm như trên cho tới khi còn lại một số có một chữ số.

Hãy tính xem chữ số còn lại sau cùng là chữ số nào?

3. Bài toán tạo số 2011 chào mừng 20/11

An sắp xếp các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 theo một thứ tự trên vòng tròn được minh họa như hình vẽ. Sau đó, An lấy tất cả hiệu của các cặp số đứng cạnh nhau (số lớn trừ số bé), rồi đố Bình tính tổng của các hiệu này.

Ngay lập tức, Bình nói tổng này bằng 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 4 = 40. “Đúng rồi! Rất dễ Bình nhỉ” – An nói. Bây giờ tớ đố Bình hãy sắp xếp 99 số 1, 2, 3, 4…96, 97, 98, 99 trên một vòng tròn sao cho tổng các hiệu của tất cả cặp số đứng cạnh nhau (số lớn trừ số bé) bằng 2011.

Bình suy nghĩ mãi mà chưa làm được. Bạn hãy giúp Bình giải bài toán của An nhé.

4. Bài toán 'tìm số đồng xu'

Tom và Jerry cùng chơi một trò chơi sau. Tom có một số đồng xu và Jerry không có đồng xu nào. Jerry có thể lấy một số đồng xu (khác 0) tùy ý từ Tom. Sau đó Tom có thể lấy lại một số đồng xu (vẫn phải khác 0) nhưng phải là một con số khác với con số Jerry đã lấy.

Tiếp theo, Jerry lại lấy từ Tom một đồng xu, khác 0 và khác với những số đồng xu từng được lấy trước đó (ví dụ lần đầu Jerry lấy 3, sau đó Tom lấy 2 thì lần tiếp theo Jerry không thể lấy 2 hoặc 3 đồng xu). Và cứ như vậy, trò chơi sẽ kết thúc khi có ai đó không đi được nữa.

Hỏi Jerry có thể có tối đa bao nhiêu đồng xu lúc kết thúc trò chơi nếu ban đầu Tom có 13 đồng xu?

Ý tưởng cách chơi của Jerry là dồn Tom vào tình huống chỉ có một lựa chọn duy nhất và dẫn dắt Tom đi theo kịch bản của mình.

Cụ thể chiến thuật của Jerry như sau:

Đầu tiên Jerry lấy 2 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy lại một đồng xu.

Tiếp theo Jerry lấy 3 đồng xu và sẽ có 4 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy lại cả 4 đồng xu.

Jerry lại lấy 6 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy lại 5 đồng xu.

Jerry lại lấy 7 đồng xu và sẽ có 8 đồng xu. Tom lại bắt buộc phải lấy lại 8 đồng xu.

Và cứ tiếp tục như thế, Jerry lấy 10, Tom lấy lại 9, Jerry lấy 11, Tom lấy lại 12 và cuối cùng là Jerry lấy 13 đồng xu, trò chơi kết thúc vì Tom không đi được nữa.

Như vậy, đáp án là 13.

Chiến thuật của Jerry có thể tổng quát nếu số đồng xu ban đầu là lẻ. Nhưng nếu số đồng xu ban đầu là chẵn, chẳng hạn là 20 thì Jerry không có cách nào để lấy hết các đồng xu được. Chứng minh điều này thế nào? Và lúc đó Jerry có được tối đa bao nhiêu đồng xu? Các câu hỏi này xin dành để bạn đọc tiếp tục suy nghĩ.

5. Bài toán 'tìm số lượng lá bài'

An, Bình, Châu và Danh cùng đánh bài với bộ bài 32 lá. Danh chia hết bộ bài cho 4 người, nhưng bạn ấy chia không đều. Để sửa lỗi cho Danh, đầu tiên An chia đều một nửa số bài của mình cho Bình và Châu, sau đó Bình lại làm điều tương tự giữa An và Châu. Cuối cùng Châu lại chia một nửa số bài mà mình có cho An và Bình. Bây giờ thì cả 4 người đều có số bài như nhau.

Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu lá bài?

Ta giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ dưới lên. Chú ý là Danh không tham gia vào quá trình chia bài sau đó và cuối cùng Danh cũng có số bài bằng các bạn, do đó Danh có 32/4 = 8 lá bài.

Ta lập bảng sau:

Đáp án. An 4, Bình 7, Châu 13, Danh 8.

6. Bài toán 'xếp phòng khách sạn'

Có 10 người bạn đi nghỉ mát Vũng Tàu. Họ thuê 10 phòng sát nhau từ phòng 201 đến 210 thành một dãy dọc như hình vẽ.

Nhóm trưởng đề ra một quy định. Sau mỗi đêm, mọi người sẽ đổi phòng cho nhau, sao cho 2 người bất kỳ ở cạnh nhau không quá một đêm. Hỏi nhóm bạn này có thể ở lại Vũng Tàu tối đa bao nhiêu ngày nếu tuân thủ nghiêm ngặt quy định trên?

Hãy nêu rõ cách xếp phòng mỗi ngày để đạt được điều đó.

Ta phát cho mỗi người 9 lá phiếu. Sau mỗi đêm, ta sẽ thu lại từ mỗi người 1 hoặc 2 phiếu tùy thuộc đêm trước người đó ngủ cạnh 1 hay 2 người. Như thế ta phát tất cả 90 phiếu và sau mỗi đêm ta thu lại 18 phiếu (8 phòng bên trong thu 2 phiếu, 2 phòng đầu hè thu 1 phiếu).

Vậy nhóm bạn ở được tối đa 90/18 = 5 ngày.

Việc sắp xếp thế nào để đạt được điều này hóa ra không đơn giản. Từ lý luận ở phần trên, ta rút ra một kết luận quan trọng: Để có thể xếp được đủ 5 ngày thì mỗi người phải dùng đủ 9 phiếu, tức là mỗi người chỉ được ở hai phòng đầu hè một lần. Đây là nguyên tắc quan trọng để ta xây dựng ví dụ. Dưới đây là một ví dụ:

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

2-4-6-8-10-1-3-5-7-9

3-6-9-1-4-7-10-2-5-8

4-8-1-5-9-2-6-10-3-7

5-10-4-9-3-8-2-7-1-6

Để kiểm tra, chú ý hiệu các số cạnh nhau ở hàng 1 bằng 1, ở hàng 2 bằng 2 hoặc 9, ở hàng 3 bằng 3 hoặc 8, ở hàng 4 bằng 4 hoặc 7, ở hàng 5 bằng 5 hoặc 6 nên tất cả các đôi một khác nhau.

7. Bài toán 'tìm số nguyên dương'

Gọi S(X) là tổng các chữ số của số nguyên dương X.

Ví dụ S(2014) = 2+0+1+4=7.

Hãy tìm số nguyên dương X nhỏ nhất sao cho S(X) và S(X+1) đều chia hết cho 7.

Nếu X không tận cùng bằng 9 thì S(X+1) = S(X) + 1.

Như thế cả hai số này không thể cùng chia hết cho 7.

Giả sử X = a9..9 (k chữ số 9, sau đó đến số a là một số không tận cùng bằng 9).

Khi đó X+1 = (a+1)0..0 (k chữ số 0).

Vậy ta có S(X) = S(a) + 9k, S(X+1) = S(a) + 1.

Suy ra 9k - 1 chia hết cho 7.

Như vậy số k nhỏ nhất là số 4.

Ta lại chọn a nhỏ nhất sao cho S(a) + 1 chia hết cho 7

Tức là a = 6

Ta được số 69999.

8. Bài toán 'Hoa cúc dại'

Hoa cúc dại nở vào buổi sáng, hoa sẽ có màu vàng trong 2 ngày, sang sáng ngày thứ ba sẽ thành màu trắng và đến chiều hôm đó thì sẽ bay mất. Ngày hôm qua vào buổi trưa ở bãi cỏ có 20 hoa cúc vàng và 14 hoa cúc trắng còn hôm nay có 15 hoa cúc vàng và 11 hoa cúc trắng.

a) Hỏi vào hôm kia ở bãi cỏ có bao nhiêu hoa cúc vàng?

b) Ngày mai ở bãi cỏ sẽ có bao nhiêu hoa cúc trắng?

Ta chia hoa cúc vàng thành 2 loại: hoa cúc vàng mới nở (V1) và hoa cúc vàng sắp chuyển màu trắng.

Ngày hôm nay có 11 hoa cúc trắng thì ngày hôm qua phải có 11 hoa cúc vàng sắp chuyển màu trắng. Suy ra ngày hôm kia phải có 11 hoa cúc vàng mới nở.

Ngày hôm qua có 14 hoa cúc trắng suy ra ngày hôm kia có 14 hoa cúc vàng sắp chuyển màu trắng.

Như vậy tổng cộng ngày hôm kia có: 11 + 14 = 25 hoa cúc vàng.

Từ đây cũng suy ra ngày hôm qua có: 20-11 = 9 hoa cúc vàng mới nở.

Suy ra ngày mai có 9 hoa cúc trắng.

Ta có bảng minh họa sau:

9. Bài toán 'đi xe đạp'

10. Bài toán 'Robinson cân đá'

Sau một thời gian sống trên đảo hoang, Robinson Crusoe thu lượm được 32 hòn đá quý. Nhìn bề ngoài không thể phân biệt được hòn đá nào nặng hơn. Robinson Crusoe cũng không có cân đồng hồ để cân chính xác khối lượng các hòn đá mà chỉ có thể dùng cân đĩa để so sánh nặng nhẹ.

Hỏi Robinson Crusoe cần phải sử dụng ít nhất bao nhiêu lần cân để xác định được 2 hòn đá nặng nhất?

Nếu đề bài cần xác định hòn đá nặng nhất thì Robinson cần 31 lần cân, vì mỗi một lần cân, anh ta loại được một hòn đá (không nặng nhất). Để tìm hòn đá nặng nhất, Robinson phải loại đi 31 hòn đá còn lại, do đó cần ít nhất 31 lần cân.

Để ý rằng trong quá trình cân, nếu Robinson ghi nhận lại các kết quả thì hòn đá nặng thứ nhì sẽ phải là một trong các hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất. Robinson có thể bố trí cách cân để hòn đá nặng nhất chỉ cân với 5 hòn đá khác.

Cụ thể:

Lượt 1 cân 16 cặp, loại 16 còn 16.

Lượt 2 cân 8 cặp, loại 8 còn 8.

Lượt 3 cân 4 cặp, loại 4 còn 4.

Lượt 4 cân 2 cặp, loại 2 còn 2.

Lượt 5 cân cặp hòn đá còn lại, loại 1 còn 1.

Robinson tìm được hòn đá nặng nhất sau: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 lần cân.

Bây giờ Robinson còn 5 hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất. Hòn đá nặng nhì phải nằm trong số này. Anh ta cần 4 lượt cân nữa để xác định hòn đá nặng nhất trong 5 hòn đá này.

Vậy Robinson cần: 31 + 4 = 35 lượt cân để tìm ra 2 hòn đá nặng nhất.

11. Bài toán '7 chú lùn chia sữa'

Bảy chú lùn ngồi quanh một cái bàn tròn, trước mặt mỗi chú là một cái cốc có chứa sữa bên trong (có thể có cốc không có sữa). Có tổng cộng nửa lít sữa ở trong tất cả cốc.

Một chú lùn đứng dậy và chia đều lượng sữa trong cốc của chú vào cốc các bạn. Sau đó lần lượt các chú lùn khác cũng làm như vậy. Sau khi chú lùn thứ bảy chia xong sữa thì mọi chú lùn đều có một lượng sữa bằng lượng sữa mà họ có lúc ban đầu. Hỏi lượng sữa có trong mỗi cốc lúc đầu là bao nhiêu?

Gọi lượng sữa của mỗi chú lùn theo thứ tự chia sữa là a1, a2, …, a7, đồng thời lượng sữa mà mỗi chú lùn này chia cho những người còn lại theo thứ tự là s1; s2; …; s7.

Đặt s1 + s2 + s3 + … + s7 = S.

Chú lùn thứ nhất chia cho mỗi người khác s1 và sau đó được nhận về a1 = s2 + s3 + … + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ nhất là a1 = 6s1

nên ta có: 7s1 = a1 + s1 = S

Chú lùn thứ 2 chia cho mỗi người khác s2 và sau đó được nhận về a2 = s3 + s4 + … + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 2 là a2 + s1 = 6s2

nên ta có: 7s2 = a2 + s1 + s2 = S

Chú lùn thứ 3 chia cho mỗi người khác s3 và sau đó được nhận về a3 = s4 + s5 + s6 + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 3 là a3 + s1 + s2 = 6s3

nên ta có: 7s3 = a3 + s1 + s2 + s3 = S

Tương tự ta sẽ có S = 7s4 = 7s5 = 7s6 = 7s7 Þ s1 = s2 = s3 = … = s7 = (1/7)S

Suy ra: a1 = (6/7)S; a2 = (5/7)S; a3 = (4/7)S; …; a7 = 0.

Theo đề bài ta có: a1 + a2 + …+ a7 =1/2 nên 3S=1/2 hay S=1/6.

Vậy lượng sữa có trong mỗi cốc của 7 chú lùn lần lượt là: 1/7 lít, 5/42 lít, 2/21 lít, 1/14 lít, 1/21 lít, 1/42 lít và 0 lít.

12. Bài toán 'gửi tiền ngân hàng'

 Vào dịp đầu năm mới 2015, Giám đốc một công ty tin học đến làm việc với Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin học về việc hợp tác phát triển nguồn nhân lực. Bên cạnh các hoạt động như giáo dục hướng nghiệp, tham quan thực tập, đào tạo chuyên môn chuyên ngành, công ty còn đề xuất sẽ trao học bổng cho các sinh viên của khoa vào dịp cuối năm.

Tổng học bổng mỗi năm là 100 triệu đồng và được trao trong vòng 10 năm. (Như vậy tổng quỹ học bổng là một tỷ VNĐ). Công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền để vừa đủ thực hiện cam kết trong vòng 10 năm. Giả định rằng lãi suất huy động của ngân hàng trong suốt 10 năm cố định ở mức 10%/năm, hỏi công ty sẽ cần gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền vào đầu năm 2015?

13 Bài toán 'khảo sát trồng hoa gì'

14. Bài toán 'tính khoảng cách'

Phương Vy đi từ nhà mình (V) đến nhà bà ngoại (B). Con đường từ nhà Vy đến nhà bà có chỗ bằng phẳng, có chỗ lên dốc, có chỗ xuống dốc. Vy đi trên đường phẳng với tốc độ 5 km/h, lên dốc với tốc độ 4 km/h và xuống dốc với tốc độ 6 km/h. Vy mất 1 giờ 36 phút để đi từ V đến B và mất 1 giờ 39 phút để đi từ B đến V.

Nếu đoạn đường phẳng có độ dài 2,5 km thì khoảng cách từ V đến B bằng bao nhiêu?

15. Bài toán 'trò chơi bốc kẹo'

Hai bạn An và Bình chơi trò chơi bốc kẹo. Ban đầu trên bàn có 25 viên kẹo. Bắt đầu từ An, hai bạn luân phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được phép bốc 1, 2 hoặc 3 viên. Đến khi hết kẹo trên bàn ai bốc được tổng cộng một số chẵn viên kẹo sẽ thắng.

Hỏi ai là người có chiến thuật thắng nếu cả hai cùng chơi đúng?

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên. Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên kẹo.

Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn. Ta viết f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này. Trong trường hợp ngược lại f(CL, k) = 0. Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25). Nếu giá trị này bằng 1 thì An thắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng.

Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuối cùng, kết thúc cuộc chơi. f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2 viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng. Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2). Tương tự như thế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3).

Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo. Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3 viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các trạng thái thắng của đối thủ. Suy ra f(C, 4) = 0. Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng.

Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo. Do đó ta bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1. Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra f(L, 5) = 0.

Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ). Bằng lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau.

Như vậy f(C, 25) = 0, tức là Bình có chiến thuật thắng.

(Đây là bài toán khá khó trong lý thuyết thuật toán và trò chơi).

16. Bài toán 'bóng đá'

Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc giải, người ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận và có số điểm bằng tổng điểm của hai đội xếp nhì, ba và bằng tổng điểm của ba đội xếp cuối.

Hãy tìm số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối.

Theo đề bài thì đội vô địch thua đúng 1 trận, do đó được tối đa 4 x 3 = 12 điểm. Cũng theo đề bài, đội vô địch có số điểm bằng 1/2 tổng điểm của 5 đội còn lại. 5 đội này đấu với nhau 10 trận, đem lại ít nhất cho tổng điểm là 20 điểm (mỗi trận hòa đem lại 2 điểm, mỗi trận thắng thua đem lại 3 điểm). Ngoài ra, họ có lấy được ít nhất 3 điểm từ đội vô địch.

Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23.

Suy ra đội vô địch được ít nhất 11,5 điểm.

Từ các lý luận trên, vì điểm của một đội là số nguyên nên đội vô địch được 12 điểm.

Từ đây, 5 đội còn lại có tổng điểm là 24. Họ lấy được 3 điểm từ trận thắng đội vô địch. Suy ra trong 10 trận đấu giữa họ với nhau, họ tạo ra được 21 điểm.

Suy ra chỉ có 1 trận thắng - thua trong 10 trận này, còn lại 9 trận hòa. Như vậy 5 đội còn lại chỉ có 2 trận thắng.

Ta có nhận xét rằng, do đội vô địch không có trận hòa nào, nên nếu một đội bóng được 5 điểm trở lên thì đội bóng đó thắng ít nhất 1 trận. Do vậy đội thứ tư được không quá 4 điểm (ngược lại, sẽ có 3 đội được 5 điểm trở lên, mỗi đội sẽ thắng ít nhất 1 trận, mâu thuẫn).

Do tổng điểm của 3 đội xếp cuối là 12 nên từ đây suy ra đội cuối bảng được 4 điểm.

Vậy đội vô địch được 12 điểm, đội xếp cuối được 4 điểm. Thực tế giải đấu như vậy có thể xảy ra với kết quả các trận đấu như bảng dưới đây:

17. Bài toán 'sắp xếp thứ tự đúng'

Dưới đây là các cụm từ tiếng Thái và dịch nghĩa tiếng Anh của các cụm từ đó, nhưng không theo đúng thứ tự.

krathinthet sam dok, durong si tua, krathinthet si dok, se song dok, nakleng nueng khon, nakleng si khon, nangyak si khon, chang nueng khon, kabin nueng tua, chang sam khon, chaba nueng dok, bua sam dok, nak sam tua, chang si khon, durong song tua, kabin sam tua, chaloei sam khon.

3 acacias, 1 monkey, 4 acacias, 3 monkeys, 3 otters, 3 captives, 1 hibiscus, 1 engineer, 3 lotuses, 3 engineers, 2 horses, 4 engineers, 4 horses, 1 hooligan, 4 giantesses, 4 hooligans, 2 orchids.

Hãy xếp lại phần dịch nghĩa tiếng Anh theo đúng thứ tự. Giải thích rõ lý luận của bạn.

Ta thấy các cụm từ tiếng Thái có 3 thành tố, đó là số từ, danh từ riêng và 1 thành tố khác. Ta thấy ở phần tiếng Thái chữ khon xuất hiện 7 lần, dok xuất hiện 5 lần, tua xuất hiện 5 lần, trong khi đó bên tiếng Anh, chỉ có số 3 xuất hiện 6 lần và số 4 xuất hiện 5 lần. Vậy thành tố cuối trong tiếng Thái không phải là danh từ riêng hoặc số từ.

Sử dụng tư duy ngữ pháp tiếng Việt, ta có thể đoán thành tố cuối này chỉ người, con vật hay đồ vật (hoa). Phân tích số lần xuất hiện ta tìm được khon chỉ người.

Tiếp tục phân tích số lần xuất hiện, ta thấy nếu loại đi thành tố cuối thì chỉ có chữ sam xuất hiện 6 lần. Suy ra sam = 3. Tương tự si = 4. Với cặp số từ này, ta thấy chỉ có 3 acacias, 4 acacias và 3 engineers, 4 engineers là có 3, 4. Chỉ có engineers mới đi với chữ khon nên ta tìm được chang sam khon = 3 engineers, chang si khon = 4 engineers.

Bằng phép loại trừ, ta suy ra krathinthet sam dok = 3 acacias, krathinthet si dok = 3 acacias. Như vậy dok chỉ loài hoa, còn tua chỉ loài vật.

Lại phân tích số lần xuất hiện của các số từ còn lại, ta tìm đượng nueng = 1 và song = 2.

Sử dụng các thông tin này, phân tích số lần xuất hiện, ta tìm được toàn bộ tương ứng một cách dễ dàng.

krathinthet sam dok = 3 acacias, durong si tua = 4 horses, krathinthet si dok = 4 acacias, se song dok = 2 orchids, nakleng nueng khon = 1 hooligan, nakleng si khon = 4 hooligans, nangyak si khon = 4 giantesses, chang nueng khon = 1 engineer, kabin nueng tua = 1 monkey, chang sam khon = 3 engineers, chaba nueng dok = 1 hibiscus, bua sam dok = 3 lotuses, nak sam tua = 3 otters, chang si khon = 4 engineers, durong song tua = 2 horses, kabin sam tua = 3 monkeys, chaloei sam khon = 3 captives.

18. Bài toán 'cô bé quàng khăn đỏ'

Cô bé quàng khăn đỏ có một hộp gồm 1.000 viên kẹo. Ở bên ngoài có một số lượng tùy ý thanh chocolate và bánh kem.

Cô bé quàng khăn đỏ có thể thay:

- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate.

- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate.

- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem.

- Một viên kẹo vào một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem.

- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo.

Hỏi, có thể xảy ra tình huống sau một thời gian, trong hộp chỉ còn lại:

a) 1 viên kẹo?

b) 1 bánh kem?

c) 1 thanh chocolate?

Gọi S là tổng số viên kẹo và bánh kem trong hộp. Ta thấy rằng trong quá trình biến đổi thì S luôn là một số chẵn.

Thật vậy, ban đầu S chẵn. Duyệt qua các phép biến đổi:

- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate --> S giảm 2

- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate --> S giảm 2

- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem --> S tăng 2

- Một viên kẹo và một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem --> S không đổi

- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo --> S không đổi.

=> Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Do S luôn là số chẵn, do đó các tình huống a), b) không thể xảy ra.

Để giải câu c), ta cũng làm tương tự, nhưng tinh tế hơn.

Giả sử 1 viên kẹo giá 1 đồng, bánh kem giá 3 đồng và một thanh chocolate giá 2 đồng, khi đó, các phép đổi đồ ăn có giá như sau:

1. Đổi 2 kẹo lấy 1 chocolate: Đổi 2 đồng thành 2 đồng.

2. Đổi 2 bánh kem lấy 1 chocolate: Đổi 6 đồng thành 2 đồng.

3. Đổi 2 chocolate lấy 1 kẹo, 1 bánh kem: Đổi 4 đồng thành 4 đồng.

4. Đổi 1 kẹo + 1 chocolate lấy 1 bánh kem: Đổi 3 đồng thành 3 đồng.

5. Đổi 1 bánh kem + 1 chocolate lấy 1 kẹo: Đổi 5 đồng thành 1 đồng.

Như vậy, ở mỗi phép đổi, hoặc số tiền bảo toàn, hoặc giảm đi 4 đồng. Ban đầu có 1.000 kẹo sẽ tương ứng với 1.000 đồng, như vậy quá trình đổi không thể kết thúc bằng 1, 2, hoặc 3 đồng, nên bài toán vô nghiệm.

Chú ý rằng cách giải này áp dụng được cho cả hai câu a), b).

19. Bài toán 'lát kín hình chữ nhật'

20. Bài toán 'thức ăn nhanh'

Cửa hàng thức ăn nhanh Mc Donald's có 3 loại hộp bánh chicken mcnuggets là hộp 6 bánh, hộp 10 bánh và hộp 15 bánh. Một khách hàng thắc mắc nếu ai đó muốn mua, chẳng hạn 29 cái bánh thì sẽ không lấy nguyên hộp được.

Giám đốc cửa hàng trả lời rằng: "Đúng là có những tình huống như thế, và lúc đó chúng tôi đành phải xé lẻ. Tuy nhiên, đối tượng chính của chúng tôi là các trường học, họ luôn mua đủ nhiều và vì thế chúng tôi luôn có thể bán nguyên hộp đúng số lượng họ cần".

Tìm số nguyên N nhỏ nhất mà với mọi n ≥ N, ta có thể chọn ra một số hộp bánh các loại như trên có tổng số bánh đúng bằng n.

Ta thấy không thể lấy được đúng 29 cái bánh. Giả sử ngược lại lấy được đúng 29 cái bánh, do 6 và 10 đều chẵn nên ta phải dùng ít nhất một hộp 15. Lúc này chỉ còn lại 14 cái bánh. Rõ ràng là ta không lấy đúng được từ các hộp 6, 10.

Bây giờ ta chứng minh từ 30 cái bánh trở đi ta luôn lấy đúng được. Thật vậy, ta có:

30 = 10 + 10 + 10 = 15 + 15

31 = 6 + 10 + 15

32 = 6 + 6 + 10 + 10

33 = 6 + 6 + 6 + 15

34 = 6 + 6 + 6 + 6 + 10

35 = 10 + 10 + 15

Và tiếp theo ta cộng 6 vào thì được tiếp biểu diễn cho các số 36, 37, 38... và cứ như vậy, tất cả các số ≥ 30 đều biểu diễn được.

Vậy N = 30 là số nhỏ nhất cần tìm.