Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress

Dạo gần đây báo điện tử Vnexpress.net thường đăng những bài toán với cách giải và tư duy rất thú vị. Tuy nhiên nếu bạn không có thời gian hoặc vô tình bỏ lỡ một bài toán nào, đừng lo, chuyên mục này sẽ tổng hợp lại tất cả những bài toán đó cùng cách giải. Tuy nhiên thành thực mà nói, bản thân tớ vốn không thích toán lắm! Cho nên bạn dễ dàng nhận thấy blog rất ít những câu đố liên quan đến toán học. Để làm một bài toán ngoài tư duy thì kiến thức tích lũy cũng là rất quan trọng vậy nên không phải ai cũng yêu thích thể loại này! Dẫu sao thì bài viết này xem như món quà cho những bạn yêu thích toán học.

1. Bài toán thay chữ cái bằng chữ số

Điền các chữ số thích hợp vào đẳng thức sau để được một phép tính đúng. Chữ cái giống nhau được thay bằng các chữ số giống nhau, chữ cái khác nhau được thay bằng các chữ cái khác nhau:

TEN + TEN + FORTY = SIXTY

Ta xếp lại phép tính theo cột

T E N

T E N

F O R T Y

S I X T Y

Ta thấy N + N + Y = Y + (0 hoặc 10), suy ra N = 0 hoặc 5.

Xét ở hàng chục thì:

E + E + T + (0 hoặc 1) = T + (0 hoặc 10) => E + E + T + (0 hoặc 1) = (0 hoặc 10).

Nếu có nhớ 1 từ hàng đơn vị sang thì vế trái lẻ, vế phải chẵn, mâu thuẫn.

Vậy phép cộng hàng đơn vị không nhớ, suy ra N = 0. Và từ đây suy ra E = 5.

Vì S và F khác nhau nên phép cộng ở hàng ngàn phải có nhớ, và ta có S = F+1. Vì phép cộng ở hàng trăm nhớ tối đa là 2, mà I khác 0 nên từ đây để phép cộng ở hàng ngàn có nhớ, 

ta phải có O = 9 và I = 1 và phép cộng ở hàng trăm phải nhớ 2.

Như vậy T phải là 6, 7 hoặc 8.

Nếu T = 6 thì do tối đa R có thể bằng 8 và phép cộng hàng chục nhớ 1, do đó X chỉ có thể bằng 0 hoặc 1 (trùng với I = 1 và N = 0).

Nếu T = 7 thì trường hợp R = 6 cho kết quả tương tự, còn R = 8 ta được X = 3. Lúc này các số 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9 đã được dùng, ta không còn cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S = F+1.

Còn lại trường hợp duy nhất T = 8.

Lúc này nếu R = 6 thì X = 3 và các số 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9 đã được dùng, ta cũng không còn cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S = F+1.

Nếu R = 7 thì X = 4, ta còn cặp 2 số liên tiếp duy nhất là 2, 3 cho F và S = F+1. Vậy F = 2, S = 3. Số 6 duy nhất còn lại ta dành cho Y.

Vậy ta được đẳng thức 850 + 850 + 29786 = 31486.

Đáp án: 850 + 850 + 29786 = 31486

2. Chia bánh (Bài này sẵn có đáp án rồi, các bạn xem coi như tham khảo!)

3. Bài toán Vé số trúng thưởng:

Trong một giải Xổ số Toán học, mỗi tấm vé số là một bộ gồm 5 số tự nhiên không sắp thứ tự (a; b; c; d; e) nằm từ 1 đến 90. Vào ngày ban tổ chức quay số trúng thưởng, ông A và ông B trao đổi với nhau:

A: Ông có biết hôm nay kết quả xổ số là gì không?

B: Trong kết quả 5 số xuất hiện ở vé trúng thưởng, có một “số đặc biệt” là ước của tổng 2 số bất kỳ trong 4 số còn lại!

A: Thế số đó là gì?

B: Tôi mà nói ra thì anh sẽ biết ngay vé số trúng thưởng.

A: Ít nhất thì cũng nói cho tôi số đó là chẵn hay lẻ?

Khi ông B vừa trả lời cho ông A, thì ông A nhảy bật lên sung sướng:

- Tôi trúng xổ số rồi! Thắng rồi! Thắng rồi!

Hỏi “số đặc biệt” là số nào và vé trúng thưởng là bộ gồm 5 số nào?

1. Sai lầm thường gặp

Với e = 16 ta có bộ số duy nhất là 1 hoán vị của (16 ; 32 ; 48 ; 64 ; 80)

Nguyên nhân sai lầm : Với e = 16 ta còn có bộ số (8 ; 16 ; 24 ; 40 ; 56)

2. Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát giả sử số đặc biệt là số e. Chú ý 2 giả thiết quan trọng sau đây:

– Nếu cho biết số e thì ta xác định được bộ (a;b;c;d) duy nhất

– Trong 2 trường hợp e chẵn hoặc lẻ thì có 1 trường hợp cho ta duy nhất 1 số e tương ứng với 1 bộ (a;b;c;d) duy nhất

Từ đó suy ra:

Nếu e chẵn thì có thể chỉ ra 2 trường hợp của e đều có bộ nghiệm duy nhất (a;b;c;d) tương ứng

+ ) Với e = 22 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 11 ; 33 ; 55 ; 77)

+ ) Với e = 24 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 12 ; 36 ; 60 ; 84)

Như vậy e chẵn bị loại.

Với e lẻ ta có thể chứng minh được các số a ; b ; c ; d cùng phải chia hết cho e. Từ đó suy ra chỉ có duy nhất e = 17 tương ứng với bộ duy nhất (a;b;c;d) là 1 hoán vị của (34 ; 51 ; 68 ; 85 ), và vé trúng thưởng là 1 hoán vị của ( 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85).

4. Bài toán chia tài sản

Một người đàn ông giàu có nói với người vợ đang mang thai là nếu sinh con trai sẽ chia cho đứa bé 1/2 tài sản, là con gái thì chia cho 2/3. Vậy nếu bà vợ sinh đôi một trai, một gái thì tài sản sẽ được chia như thế nào? (Vũ Duy Minh)

Bình luận: Bài toán này không thể giải được về mặt Toán học và mấu chốt do tổng tài sản của con trai và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1

Ta có thể thấy rõ điều này nếu thay đổi các phân số để tổng của chúng < 1 thì bất cứ ai cũng có thể chia được và sẽ không tạo ra sự bàn luận sôi nổi về bài toán này!. Xét 3 ví dụ sau đây:

+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 1/3 thì 1/2 + 1/3 = 5/6 < 1 và khi đó chia tài sản thành 6 phần, con trai 3 phần và con gái 2 phần.

+ Con trai nhận 1/4, con gái nhận 1/3 thì 1/4 + 1/3 = 7/12 < 1 và khi đó chia tài sản thành 12 phần, con trai 3 phần và con gái 4 phần.

+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 2/5 thì 1/2 + 2/5 = 9/10 < 1 và khi đó chia tài sản thành 10 phần, con trai 4 phần và con gái 5 phần.

Nhưng nếu chúng ta là Tòa án mà phải giải quyết bài toán thực tế: "Phân chia tài sản theo di chúc cho 1 con trai và 1 con gái" thì làm thế nào? Không nhẽ lại nói không thể chia được và xung toàn bộ tài sản vào "Quỹ Quốc gia"?

Trong trường hợp bài toán đã nêu, để xử lý điều kiện phi logic: Tổng tài sản của con trai và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1 ta có 2 cách tiếp cận sau đây:

+ Nếu lấy tổng tài sản làm thước đo trung gian thì tỷ lệ tài sản của con trai với con gái là: (1/2) : (2/3)= 3/4 thì sẽ có vô số cách chia như sau: "Chia tài sản thành n ≥ 7 phần bằng nhau tùy ý, con trai nhận 3 phần, con gái nhận 4 phần". Nhưng khi đó cả 3 đại lượng tài sản con trai, tài sản con gái, tài sản còn lại luôn thay đổi theo n tức là cách tiếp cận này hoàn toàn không có giá trị thực tiễn.

+ Nếu hiểu thông tin của người cha theo "logic mềm": Ông ta không lường trước được chuyện sinh đôi 1 trai, 1 gái và ý tưởng của ông ta là chia tài sản theo tương quan tỷ lệ giữa tài sản nhận được của con trai hoặc của con gái với tài sản còn lại thì ta có lời giải sau đây:

Lời giải:

Tài sản con trai bằng 1/2 tổng tài sản nên tài sản còn lại cũng bằng 1/2 tổng tài sản. Tức là tài sản con trai bằng tài sản còn lại (1)

Tài sản con gái bằng 2/3 tổng tài sản nên tài sản còn lại bằng 1/3 tổng tài sản. Tức là tài sản con gái bằng 2 lần tài sản còn lại (2)

Từ (1) và (2) suy ra tài sản con gái gấp đôi tài sản con trai và gấp đôi tài sản còn lại. Từ đó suy ra cách chia tài sản của ông bố ra làm 4 phần bằng nhau. Con trai được chia 1 phần và con gái được chia 2 phần.

Kết luận:

Bài toán trên gần giống bài toán cổ chia ngựa trong di chúc của ông bố cho các con: “Một ông bố viết di chúc chia tất cả 17 con ngựa cho 3 đứa con, đứa lớn nhất được 1/2 tổng số ngựa. Đứa thứ 2 được 1/3 tổng số ngựa, và đứa út được 1/9 tổng số ngựa”. Vì 17 không chia hết cho các mẫu số nên các con không thể chia theo di chúc được mà đưa ra Tòa phán xử. Khi đó, Tòa đã mượn thêm 1 con ngựa để có 18 con ngựa, và lần lượt 3 người con nhận được 9, 6, 2 con ngựa tương ứng với 1/2, 1/3, 1/9 trong tổng số 18 con ngựa. Vì 9 + 6 + 2 = 17 nên vẫn thừa ra 1 con ngựa để hoàn trả lại.

Như vậy, bài toán chia tài sản sai về mặt Toán học bởi tổng tài sản thừa 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1 thì bài toán chia ngựa sai bởi tổng giá trị thiếu 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Việc mượn thêm 1 con ngựa rồi mới thực hiện phép chia sẽ làm cho mỗi người con đều nhận được số ngựa lớn hơn so với việc chia ngay theo tỉ lê từ 17 và quan trọng hơn số ngựa nhận được của mỗi người đều là các số nguyên nên họ dễ dàng đồng ý với cách chia của Tòa. Đây chính là giải pháp tối ưu cho các bài toán thực tế, dù sai logic về mặt Toán học.

5. Bài toán trục đối xứng của tứ giác

Có bao nhiêu loại hình tứ giác có trục đối xứng?

1. Hình vuông

2. Hình chữ nhật

3. Hình thang cân

4. Hình thoi

5. Hình tương tự hình thoi nhưng có hai cạnh liền nhau bằng nhau và khác hai cạnh kia, trục đối xứng chính là đường chéo của nó.

Đây là hình tứ giác có 2 cặp cạnh liền kề bằng nhau nhưng 4 cạnh không bằng nhau. Khi đó tứ giác này có 2 đường chéo vuông góc nhau và có 1 đường chéo là trục đối xứng của tứ giác.

6. Bài toán đoán ngày sinh nhật

Một chàng trai hỏi ngày sinh nhật của một cô gái mới quen. Cô gái kiêu kỳ trả lời: "Hai ngày trước em 17 tuổi, nhưng năm tới em sẽ 20 tuổi cơ đấy!". Bạn hãy giúp chàng trai đoán ngày sinh nhật của cô gái.

Bình luận: Khi đọc xong đề bài chúng ta có cảm giác đề bài hết sức vô lý vì tuổi của một người bất kỳ ở năm liền sau với năm liền trước chỉ cách nhau 2 tuổi, không thể cách 3 tuổi được. Điều hay nhất của bài toán nằm ở một nút thắt rất tinh vi: "Cô gái có duy nhất 1 ngày của năm liền sau có khoảng cách 3 tuổi so với năm liền trước". Để làm sáng tỏ điều này chúng ta có các nhận xét sau đây:

+ Tháng 12 có 31 ngày và ngày cuối năm là ngày 31/12

+ Ngày sinh nhật là ngày cuối cùng của tuổi hiện tại

+ Ngày liền sau sinh nhật là ngày đầu tiên của tuổi hiện tại cộng 1

+ Nghĩ đến ý tưởng: "Ngày cuối cùng của tuổi 17 và ngày đầu tiên của tuổi 20"

Từ những nhận xét trên ta có lời giải sau đây:

Để tạo ra khoảng cách lớn nhất giữa tuổi của năm liền sau với năm liền trước thì thời điểm hiện tại mà cô gái trò chuyện với chàng trai phải là một trong các ngày đầu năm và sinh nhật cô gái là một trong các ngày cuối năm. Xét 2 khả năng sau:

+ Nếu ngày hiện tại ≥ 2/1 thì dễ thấy toàn bộ các ngày trong năm liền sau (năm tới) tuổi của cô gái không vượt quá 19.

+ Nếu ngày hiện tại là ngày 1/1 thì trước đó 2 ngày là ngày 30/12 của năm liền trước, đây là ngày sinh nhật và là ngày cuối ở tuổi 17 của cô gái. Trong năm hiện tại từ ngày 1/1 đến ngày 30/12 cô gái 18 tuổi. Trong năm liền sau (năm tới) từ ngày 1/1 đến ngày 30/12 cô gái 19 tuổi và ngày 31/12 là ngày đầu tiên cũng là ngày duy nhất trong năm cô gái bước sang tuổi 20.

Kêt luận: Sinh nhật của cô gái là ngày 30/12.

7. Bài toán người nhọ mặt

Trên một đoàn tàu hỏa, phụ trách một toa tàu thông báo trong toa có một số người bị nhọ mặt và ra hiệu lệnh: Mọi người tập hợp xung quanh tôi, không được soi gương, nói chuyện hay bất kỳ hành động nào có thể giúp cho người khác biết về tình trạng nhọ hay không nhọ. Chỉ được phép nhìn nhau và suy nghĩ, nếu ai biết chắc chắn mình bị nhọ thì khi tàu dừng sẽ xuống rửa. Kết quả là sau khi tàu dừng ở ga thứ 4 thì không còn ai bị nhọ. Hỏi ban đầu trong toa tàu có bao nhiêu người bị nhọ mặt?

Ta sẽ biện luận bài toán theo các tình huống sau:

TH1: Giả sử chỉ có một người bị nhọ mặt. Người đó sẽ thấy tất cả mọi người còn lại đều không nhọ nên khẳng định chính mình bị nhọ và xuống rửa ở ga thứ 1. Nhưng theo đề bài lại là ga thứ 4, vậy giả sử này sai.

TH2: Giả sử có 2 người bị nhọ mặt. Cả hai người sẽ nhìn thấy chỉ có một người bị nhọ và nghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, người còn lại sẽ nghĩ như TH1 và xuống rửa ở ga thứ 1. Nhưng qua ga thứ 1, cả hai đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ xuống rửa xong ở ga thứ 2. Vậy giả sử này cũng sai.

TH3: Giả sử có 3 người bị nhọ mặt. Cả ba người sẽ nhìn thấy có hai người còn lại bị nhọ và nghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, hai người sẽ nghĩ như TH2 và xuống rửa ở ga thứ 2. Nhưng qua ga thứ 2, cả 3 đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ xuống rửa xong ở ga thứ 3. Vậy giả sử này cũng sai.

Tiếp tục suy diễn như trên và kết hợp với giả thiết khi tầu dừng ở ga thứ 4 thì không còn ai bị nhọ. Ta kết luận có 4 người bị nhọ mặt.

8. Bài toán chia đồng xu

Có 10 đồng xu mặt ngửa và 10 đồng xu mặt úp nằm lẫn lộn trên bàn. Giả sử bạn bị bịt mắt lại và đeo găng tay để không cảm nhận được đồng xu nào là ngửa hay úp, làm cách nào để chia số đồng xu trên thành hai phần bằng nhau sao cho số đồng xu ngửa của phần này bằng số đồng xu ngửa của phần kia? Bạn chỉ có thể di chuyển và lật những đồng xu qua lại.

Chia số đồng xu trên thành 2 phần bằng nhau rồi lật tất cả những đồng xu ở phần thứ nhất lên, ta sẽ có được 2 phần trong đó số đồng xu ngửa của phần này bằng số đồng xu ngửa của phần kia.

9. Bài toán tính tuổi cô giáo

Trong buổi học đầu tiên, cô giáo nói với một học sinh: “Hôm nay cô gặp 3 người nam. Tích số tuổi của họ là 2.450 và tổng số tuổi của họ gấp 2 lần số tuổi của em. Hãy tính số tuổi của họ".

Vào buổi chiều, học sinh thừa nhận rằng không thể trả lời câu hỏi này. Khi đó cô giáo đã cho học sinh thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn tuổi hơn cô”. Bạn hãy giúp học sinh tính xem cô giáo này bao nhiêu tuổi?

Bình luận: Khi đọc xong đề bài, nhiều người có cảm giác bài toán này có vẻ giống như bài toán “đầu cừu, đuôi thuyền trưởng”. Thật vậy, ở phần giữa của đề bài thì hỏi “Hãy tính số tuổi của họ” nhưng ở phần kết luận thì lại yêu cầu tìm tuổi cô giáo. Tưởng chừng 2 vấn đề này không ăn nhập với nhau, nhưng nó lại hoàn toàn liên quan và đó chính là những yếu tố cấu thành tạo ra một bài toán logic hay. Chúng ta sẽ thấy ngay điều này qua lời giải sau đây.

Lời giải:

Bước 1:

Vì đầu bài cho tích số tuổi của 3 người là 2450 nên ta phải làm ngược lại là phân tích 2.450 ra các thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số này để tạo ra đúng 3 thừa số.

Ta có: 2.450 = 2 x 5 x 5 x 7 x 7, từ đó có 12 cách ghép thành 3 thừa số sau đây:

2.450 = 1 x 49 x 50 = 1 x 35 x 70 = 1 x 25 x 98

          = 2 x 35 x 35 = 2 x 25 x 49

          = 5 x 14 x 34 = 5 x 10 x 49 = 5 x 7 x 70 = 5 x 5 x 98

          = 7 x 25 x 14 = 7 x 10 x 35 = 7 x 7 x 50

Tổng số tuổi của 3 người cô giáo gặp tương ứng với các tổng của 3 thừa số và có các kết quả sau đây:

1 + 49 + 50 = 100
1 + 35 + 70 = 106
1 + 25 + 98 = 124

2 + 35 + 35 = 72
2 + 25 + 49 = 76

5 + 14 + 35 = 54
5 + 10 + 49 = 64
5 + 7 + 70 = 82
5 + 5 + 98 = 108

7 + 25 + 14 = 46
7 + 10 + 35 = 52
7 + 7 + 50 = 64

Bước 2:

Trong các tổng trên chỉ có duy nhất số 64 lặp lại 2 lần. Từ đó suy ra nếu tuổi của 3 người thuộc tập hợp {100; 106; 124; 72; 76; 54; 82; 108; 46; 52} thì em học sinh mà cô giáo hỏi sẽ đoán được ngay tuổi của 3 người. Vì học sinh không đoán được nên tuổi của 3 người là 1 hoán vị của 1 trong 2 bộ số có tổng bằng 64 tức là 1 trong 2 bộ số (5; 10; 49) hoặc (7; 7; 50).

Để học sinh đoán được tuổi của 3 người, cô giáo đã cho học sinh thêm dữ kiện: “Một trong 3 người đó lớn tuổi hơn cô”. Với giả thiết này thì suy ra cô giáo 49 tuổi.

Thật vậy, nếu cô giáo nhỏ hơn hoặc bằng 48 tuổi thì do 49 > 48 ; 50 > 48 nên học sinh không thể đoán được tuổi của 3 người, và tất nhiên cô giáo cũng không thể lớn hơn hoặc bằng 50 tuổi được.

Kết luận: Cô giáo 49 tuổi.

10. Bài toán đổi vị trí chữ số

Tuấn viết lên bảng một đẳng thức sai 1995 + 146 = 210 + 1117. Bạn có thể giúp Tuấn làm cho đẳng thức này đúng bằng cách dịch chuyển 2 chữ số có mặt trong đẳng thức sai từ vị trí ban đầu của chúng đến hai vị trí mới ? (Cho phép nhét một chữ số vào giữa hai chữ số khác).

Sai lầm thường gặp

Một số bạn đọc đưa các đáp án thể hiện đẳng thức đúng nhưng bị phạm quy vì dịch chuyển nhiều hơn hai chữ số.

Ví dụ A. 1995 + 126 = 410 + 1711

Phạm quy: Dịch chuyển 3 chữ số 2, 4 và 7.

Ví dụ B. 1975 + 146 = 211 + 1910

Phạm quy: Dịch chuyển 4 chữ số 0, 1, 7, 9.

Hướng dẫn lời giải

Bài toán này nếu không dùng phần mềm trợ giúp thì nó là bài toán không dễ tìm được lời giải trong một thời gian ngắn. Nếu tổ hợp hết tất cả các khả năng trong Toán học thì từ đẳng thức sai ban đầu 1995 + 146 = 210 + 1117 ta có thể tạo ra hàng triệu các đẳng thức khác nhau bằng cách chỉ thay đổi đúng 2 vị trí chữ số.

Vì thế nếu đặt nó là bài toán giải trí, không đặt nặng mục đích phải tìm bằng được ngay lời giải bất chấp mọi thủ thuật, thì ta sẽ thấy nó thú vị hơn. Khi giải bài toán chúng ta cần hiểu rằng, thuật ngữ: “Cho phép nhét một chữ số vào giữa hai chữ số khác” có nghĩa là khi đó chỉ được tính 1 lần dịch chuyển 1 chữ số và đó chính là chữ số mang đi nhét. Ngoài ra kết hợp với phương pháp đánh giá và nhận xét chữ số tận cùng ta có thể chỉ cần xét dưới 10 khả năng để đưa ra một đáp án duy nhất khi không có thêm phép toán là:

1975 + 146 = 210 + 1911

11. Bài toán đi qua đường hầm

Bốn cô gái A, B, C, D muốn đi qua một đường hầm tối nhưng họ chỉ có một ngọn đuốc. Biết A, B, C, D mỗi người lần lượt có thể đi qua đường hầm trong 1 phút; 2 phút; 5 phút; 10 phút. Giả sử rằng, họ cần đuốc để đi qua mỗi lần và đường hầm cho phép tối đa 2 cô gái đi qua trong một lần.

Hỏi số thời gian ít nhất để cho cả 4 cô gái đi qua được đường hầm là bao nhiêu? (Chú ý: Nếu 2 người cùng đi một lượt qua đường hầm thì thời gian chung tính theo thời gian của cô gái đi chậm hơn).

Sai lầm thường gặp

Do cô A có thời gian đi ít nhất nên rất nhiều người chọn giải pháp cho A đi qua lại đường hầm nhiều lần theo các bước sau đây:

1. AB cùng đi mất 2 phút;                 2. A quay lại mất 1 phút;

3. AC cùng đi mất 5 phút;                 4. A quay lại mất 1 phút;

5. AD cùng đi mất 10 phút.             

Với giải pháp này thì tổng thời gian để cả 4 người đi qua đường hầm là 19 phút.

Hướng dẫn giải

Rất nhiều bạn đọc đã tham gia giải và bình luận cho bài toán này. Đây là một bài toán có tính chất “vận trù học” - sắp xếp tối ưu lộ trình thực hiện công việc nào đó.

Để giảm thời gian đi thì xu hướng ta ghép 2 người đi nhanh nhất (AB) và 2 người đi chậm nhất (CD) cùng đi một lượt. Từ đó ta có giải pháp sau đây:

1. AB cùng đi mất 2 phút;                 2. A quay lại mất 1 phút;

3. CD cùng đi mất 10 phút;               4. B quay lại mất 2 phút;

5. AB cùng đi mất 2 phút.

Với giải pháp này thì tổng thời gian để cả 4 người đi qua đường hầm là 17 phút.

Chú ý: Một số người cho rằng cần phải chứng minh bằng toán học giải pháp 17 phút là tối ưu nhất. Thực tế đối với bài toán có ít đối tượng thì ta có thể dùng các phép thử để so sánh các giải pháp là đủ. Việc chứng minh khái quát cho bài toán là không cần thiết.

12. Bài toán thay lốp ôtô

Một chiếc ôtô có 4 bánh. Mỗi lốp ở hai bánh trước sử dụng được tối đa 300 km, mỗi lốp ở hai bánh sau sử dụng được tối đa 450 km. Nếu có thể thay đổi vị trí giữa lốp trước và lốp sau thì quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp là bao nhiêu?

Giả sử khi ôtô đi được a km thì ta thực hiện đổi 2 lốp trước và 2 lốp sau cho nhau. Sau khi đổi lốp, ôtô đi được thêm b km nữa. Ta có các nhận xét sau:

- Tại thời điểm đổi lốp thì lốp trước bị hao mòn a/300 và lốp sau bị hao mòn a/450.

- Từ thời điểm thay lốp đến thời điểm ôtô đi được quãng đường tối đa thì lốp trước bị hao mòn thêm b/300; lốp sau bị hao mòn thêm b/450.

- Để ôtô chạy được quãng đường xa nhất thì cả 4 lốp mòn tối đa cùng một lúc.

Từ các nhận xét trên ta có phương trình:

(a/300) + (b/450) = (a/450) + (b/300) = 1.

Giải phương trình ta có: a = b = 1 : [(1/300) + (1/450)] = 180 (km).

Vậy quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp như nhau là 360 km.

13. bài toán điền vào chỗ trống

Điền vào chỗ trống với các con số sao cho câu này là đúng:

Trong câu này, số chữ số 0 là _____, số chữ số 1 là _____, số chữ số 2 là _____, số chữ số 3 là _____, số chữ số 4 là _____, số chữ số 5 là _____, số chữ số 6 là _____, số chữ số 7 là _____, số chữ số 8 là_____, và số chữ số 9 là _____.

"Trong hộp này số chữ số 0 là 1, số chữ số 1 là 7, số chữ số 2 là 3, số chữ số 3 là 2, số chữ số 4 là 1, số chữ số 5 là 1, số chữ số 6 là 1, số chữ số 7 là 2, số chữ số 8 là 1, số chữ số 9 là 1".

14. Bài toán tìm cách đi có thời gian ngắn nhất

Bố và hai con trai đi thăm bà nội cách thành phố 33 km. Bố đi xe Honda có thể chạy với vận tốc 25 km/h và nếu chở thêm một người thì có vận tốc 20 km/h (xe không thể chở 3). Hai anh em có thể đi bộ với vận tốc 5 km/h. Hãy tìm cách để họ đến thăm bà sau khoảng thời gian ngắn nhất có thể (thời gian được tính từ lúc đi đến lúc tất cả đều về đến nhà bà).

Bố chở con trai thứ nhất đi trong vòng 1,2 giờ, được 24km rồi bỏ con trai thứ nhất xuống rồi quay lại đón con trai thứ hai.

Lúc này, con trai thứ hai cũng đã đi được 1,2 x 5 = 6 (km), do đó quãng đường giữa hai bố con là 18km.

Hai bố con đi ngược chiều nhau với tổng vận tốc là 30km giờ nên họ gặp nhau sau 18/30 = 0,6 giờ.

Lúc này người con thứ hai đã đi được 1,2 x 5 + 0,6 x 5 = 9 (km), còn người con thứ nhất đi được 24 + 0,6 x 5 = 27km.

Hai bố con cách nhà bà 33 - 9 = 24 (km)

Người con thứ nhất cách nhà bà 33 - 27 = 6 (km).

Như vậy họ sẽ tốn thêm 24/20 = 6/5 = 1,2 giờ để cùng đến nhà bà.

Vậy tổng số thời gian đến nhà bà là: 1,2 + 0,6 + 1,2 = 3 giờ

15. Bài toán những viên đá cuội

Có 100 đống đá cuội trên một cái bàn chứa lần lượt 1, 2, 3,…, 99, 100 viên.Trong một bước bạn có thể giảm một số viên cuội từ bất kỳ nhóm viên cuội nào, miễn rằng bạn phải lấy ra cùng một số cuội từ mỗi nhóm. Hỏi bạn phải cần ít nhất bao nhiêu bước để lấy hết tất cả các viên đá cuội ra khỏi bàn?

16. Bài toán tìm số

Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mỗi chữ số đúng 1 lần, hãy lập một số có 9 chữ số abcdefghk sao cho ab chia hết cho 2; abc chia hết cho 3; abcd chia hết cho 4; abcde chia hết cho 5, …, abcdefgh chia hết cho 8 và chính số đó chia hết cho 9.

Xét số abcdefghk thỏa mãn yêu cầu bài toán. Từ giả thiết suy ra:

(b, d, f, h) là hoán vị của (2, 4, 6, 8)

(a, c, e, g, k) là hoán vị của (1, 3, 5, 7, 9).

Do abcde chia hết cho 5 nên e = 5.

Do abcdefgh chia hết cho 8 mà f chẵn nên gh chia hết cho 8, kết hợp với g lẻ và khác 5 suy ra gh = 16, 32, 72.

Do abc chia hết cho 3 và abcdef chia hết cho 6 nên def chia hết cho 3, kết hợp với abcdefghk chia hết cho 9 nên ghk chia hết cho 3.

Từ đó suy ra ghk = 165 (loại vì e = 5); 321; 327; 723; 729, dẫn đến h = 2.

Do abcd chia hết cho 4 mà c lẻ nên d = 6, suy ra def = 654

Do đó b = 8.

Ta có abcdefghk = a8c654g2k.

Do a8c654g chia hết cho 7 nên theo dấu hiệu chia hết cho 7 ta có (a + 54g – 8c6) chia hết cho 7, từ đó suy ra (a + g – 3c) chia hết cho 7.

Nếu g = 3 thì a = 9, c = 4 (loại vì c lẻ) hoặc c = 9, a = 3 (loại vì g = 3).

Nếu g = 7 thì a = 3, c = 1 và số cần tìm là 381654729.

Đáp số: 381654729.

17. Bài toán hột xúc xắc

Có 4 hột xúc xắc giống hệt nhau được xếp úp mặt vào nhau như hình vẽ. Các hột xúc xắc này không giống các hột thông thường, tức là không nhất thiết tổng các nút ở hai mặt đối diện bằng 7. Hãy xác định tổng các nút trên 6 mặt úp vào nhau.

Ta đánh số 6 mặt cần tìm từ trái qua phải là 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ta thấy 3 kề 1, 3, 4, 6 suy ra đối diện của 3 là 5. 1 kề 2, 3, 6 (trên hình) và kề 5 (do 5 và 3 đối diện nhau), suy ra đối diện của 1 là 4. Và đối diện của 6 là 2.

Từ đây dễ dàng suy ra mặt 6 có số 2 (đối diện 6). Hai mặt 4, 5 có số là 2, 6 (ta nhìn thấy các mặt 3, 4, đối diện chúng là 5, 1). Hai mặt 2, 3 có số là 4, 1 (ta nhìn thấy hai mặt 3, 2, đối diện chúng là 5, 6).

Cuối cùng, ở quân xúc xắc đầu tiên, ta nhìn thấy 2 mặt 1, 2. Đối diện của chúng là 4, 6. Vậy hai mặt còn lại là 3, 5. Nhưng mặt úp vào trong là số mấy?

Dựa vào thông tin các mặt đối diện, đặc biệt là vào quân xúc xắc ta nhìn thấy 3 mặt. Ta suy ra quân xúc xắc có dạng sau:

18. Bài toán về món 'Kình ngư quá hải'

Nhà hàng "Cá vàng" chuyên phục vụ các món đặc sản biển. Riêng món "Kình ngư quá hải", một món mang thương hiệu của nhà hàng luôn được phục vụ vào thứ hai và thứ năm hàng tuần. Vài năm trước, bếp trưởng nhận xét rằng trong tháng 1 năm đó, nhà hàng đã phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày. Hỏi ngày 1/1 năm đó rơi vào ngày thứ mấy?

Mỗi tháng có ít nhất 4 ngày thứ hai và nhiều nhất 5 ngày thứ hai. Tương tự với thứ năm. Tháng đó nhà hàng đã phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày, suy ra tháng đó có 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ năm.

Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ 2 thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai, mâu thuẫn.

Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ ba, thứ tư hoặc thứ năm thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ năm, mâu thuẫn.

Cuối cùng, nếu ngày 1/1 rơi vào thứ bảy hoặc chủ nhật thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai, mâu thuẫn. Vậy chỉ có khả năng duy nhất còn lại là 1/1 rơi vào ngày thứ sáu. Kiểm tra lại ta thấy đúng là trong trường hợp này có 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ tư.

Đáp số: Thứ sáu.

19. Bài toán điền số

Hãy điền các số từ 1 đến 9 vào vòng tròn, mỗi số sử dụng đúng một lần sao cho cả ba cạnh của tam giác đều có tổng các số bằng nhau.

Khi cộng số trên các cạnh thì các số ở 3 đỉnh sẽ được cộng 2 lần.

Do đó nếu gọi x là tổng các số trên một cạnh thì ta có:

3x = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + (tổng ba số ở đỉnh).

Từ đây suy ra tổng ba số ở đỉnh = 3(x-15) sẽ luôn chia hết cho 3.

Tổng 3 số đó bé nhất là bằng 6 nên ta có thể bắt đầu từ 6.

Ta điền 3 số 1, 2, 3 vào 3 đỉnh.

Lúc này x = 17 nên từ đây ta dễ dàng tìm được cách điền (xuất phát từ đỉnh trên cùng theo chiều kim đồng hồ): 1, 6, 8, 2, 5, 7, 3, 9, 4.

Chú ý bài toán có nhiều cách điền, nhưng x chỉ có thể bằng 17, 19, 20, 21, 23.

20. Bài toán tìm tổng số viên kẹo

Bình có 75 tấm thẻ màu đỏ và 85 tấm thẻ màu xanh. Có một chiếc máy tự động mà ở đó Bình có thể bỏ hai thẻ màu đỏ vào và nhận được một viên kẹo và một tấm thẻ màu xanh.

Lại có một máy tự động khác mà ở đó Bình có thể bỏ vào 3 tấm thẻ màu xanh để nhận được một viên kẹo và một tấm thẻ màu đỏ. Bình liên tục đổi thẻ lấy kẹo cho đến khi không thể đổi được nữa.

Hỏi lúc đó Bình sẽ có tổng cộng bao nhiêu viên kẹo?