Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress - Phần 3

20 bài toán tiếp theo tổng hợp từ báo Vnexpress. Những bài toán này đều ở mức độ khó nếu không có kiến thức toán học vững vàng thì rất khó để tìm ra đáp án! Tuy nhiên với những ai đam mê toán học thì đây lại là thử thách không thể bỏ qua.

• Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress - Phần2
• Các bài toán hay tổng hợp từ báo điện tử Vnexpress - Phần 1

1. Bài toán Giải mã dãy số

Cho dãy số 4; 46; 4201; 48361;..., biết rằng số tiếp theo trong dãy số có quy luật chung với các số trong dãy.

Bạn hãy cho biết số tiếp theo trong dãy số trên là số nào?

2. Bài toán tìm tiền giả

Có 27 đồng tiền gồm 13 đồng vàng và 14 đồng bạc, trong đó có đúng một đồng giả.

Ta biết rằng nếu đồng giả là đồng vàng thì nó nhẹ hơn đồng vàng thật, còn nếu đồng giả là đồng bạc thì nó nặng hơn đồng bạc thật.

Sử dụng cân đĩa không có quả cân, hãy phát hiện ra đồng giả sau 3 lần cân. (Các đồng vàng thật có khối lượng như nhau, các đồng bạc thật có khối lượng như nhau).

Ta chia các đồng tiền thàng 3 nhóm: có hai nhóm gồm 4 đồng vàng và 5 đồng bạc và 1 nhóm gồm 5 đồng vàng và 4 đồng bạc.

Ta cân hai nhóm đầu, nếu cân cân bằng thì đồng giả nằm ở nhóm thứ ba.

Nếu không cân bằng thì đồng giả có thể ở 4 đồng vàng phía nhẹ hơn hoặc 5 đồng bạc phía nặng hơn.

Giả sử đồng giả nằm ở nhóm 4 đồng vàng, 5 đồng bạc (trường hợp đồng giả ở nhóm 5 đồng vàng, 4 đồng bạc giải quyết tương tự).

Ta lại chia thành 3 nhóm: hai nhóm có 1 đồng vàng, 2 đồng bạc và 1 nhóm có 2 đồng vàng, 1 đồng bạc.

Ta đem hai nhóm đầu lên cân.

Nếu cân bằng thì đồng giả ở nhóm 3. Lúc này ta chỉ cần cân hai đồng vàng của nhóm này là biết đồng nào giả.

Nếu không cân bằng thì đồng giả ở đồng vàng bên nhẹ và 2 đồng bạc bên nặng. Ta chỉ cần cân hai đồng bạc là biết đồng nào giả.

3. Bài toán cáp treo

Các toa cáp treo ở núi Vitosha, Sofia được đánh số từ 1 đến 99 và sắp cách đều nhau thành một vòng.

Andrei ngồi vào toa số 42 ở chân núi để đi lên núi. Một lúc nào đó Andrei nhìn thấy toa đang đi xuống ngang với mình là toa số 13, và 15 giây sau thì thấy toa số 12 ngang với mình.

Hỏi sau bao nhiêu lâu (từ lúc gặp toa 12) thì Andrei lên đến đỉnh núi?

Vì Andrei nhìn thấy toa số 13 trước sau đó mới là số 12 nên các toa được đánh số theo chiều lên.

Ta gọi khoảng cách giữa hai toa là 1 đơn vị. Khi đó khoảng cách giữa toa 42 và toa 12 là 69 đơn vị: 57 đơn vị đến toa 99 và 12 đơn vị nữa đến toa 12.

Như vậy khoảng cách từ Andrei đến đỉnh núi bằng một nửa số này, tức là 34,5 đơn vị.

Vì các toa đi ngang qua toa của Andrei đi ngược chiều với cùng vận tốc nên tốc độ đến gần của các toa này gấp đôi tốc độ di chuyển của toa.

Suy ra để đi qua một đơn vị, toa cáp treo cần 30 giây và Andrei sẽ đến đỉnh núi sa: 34,5 · 30 : 60 = 17,25 phút.

4. Bài toán tính số học sinh nữ

Có 10 học sinh xếp thành một hàng ngang, trong đó có một số học sinh nam và một số học sinh nữ. Mỗi học sinh có trong tay một số kẹo nào đó.

Tổng số kẹo của các học sinh nam và tổng số kẹo của các học sinh nữ ban đầu bằng nhau.

Mỗi một học sinh đưa cho các học sinh đứng bên phải mình mỗi người một viên kẹo.

Sau khi thực hiện điều này thì tổng số kẹo của các học sinh nữ nhiều hơn tổng số kẹo của các học sinh nam là 50 viên.

Hỏi có bao nhiêu học sinh nữ trong hàng?

Ta đánh số các học sinh từ trái qua phải là 1, 2, …, 10.

Học sinh thứ nhất đưa cho bạn 9 viên, suy ra số kẹo của học sinh này giảm đi 9.

Học sinh thứ hai đưa cho bạn 8 viên và nhận lại 1 viên, do đó số kẹo của học sinh này giảm đi 7.

Tương tự như thế, ta thấy rằng số kẹo của 5 học sinh đầu tiên giảm đi tương ứng là 9, 7, 5, 3 và 1 và với 5 bạn tiếp theo, số kẹo sẽ tăng lên là 1, 3, 5, 7, 9 tương ứng.

Vì 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 nên chỉ có thể là 5 bạn đầu là nam, 5 bạn cuối là nữ.

5. Bài toán lớp 3 thử thách học sinh

Chèn một vài dấu cộng hoặc dấu trừ vào giữa các chữ số từ 1 đến 9 hoặc phía trước chữ số đầu tiên (số 1) để có tổng là 100. Tuy nhiên, bạn không được thay đổi thứ tự các chữ số.

Ví dụ: – 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Cách điền dấu – 1 có trong ví dụ không phù hợp với học sinh lớp 3.

Bạn hãy tìm thêm 7 cách điền các dấu cộng hoặc trừ vào giữa các chữ số từ 1 đến 9 phù hợp với học sinh lớp 3 mà không được thay đổi thứ tự các chữ số để nhận được kết quả đúng là 100.

1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

1 + 23 – 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100

1 + 23 – 4 + 5 + 6 + 78 – 9 = 100

1 + 2 + 34 – 5 + 67 – 8 + 9 = 100

12 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 89 = 100

12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

123 – 45 – 67 + 89 = 100

6. Bài toán tính bậc thang

Từ lầu 1 của siêu thị, Châu đi chầm chậm xuống (với vận tốc không đổi) theo thang cuốn đang xuống cùng chiều và chạm bậc cuối của thang cuốn sau 12 bậc.

Nhưng vừa xuống đến dưới thì mẹ của Châu gọi bạn ấy từ lầu 1. Không chần chừ, Châu lập tức chạy lên (ngược chiều thang) với vận tốc gấp 6 lần vận tốc bạn đi xuống và lên đến lầu 1 sau 24 bậc.

Hãy tính số bậc của thang mà chúng ta nhìn thấy ở một thời điểm bất kỳ?

Gọi n là số bậc của cầu thang. Ta gọi thời gian mà Châu dùng để đi xuống là 1 đơn vị thời gian. Châu bước 12 bậc thì xuống đến tầng trệt, vậy, trong đơn vị thời gian đó thang máy đi được n – 12 bậc.

Châu chạy lên với vận tốc gấp 6 lần vận tốc đi xuống. Như thế trong cùng một đơn vị thời gian, Châu sẽ đi được 6 x 12 = 72 bậc.

Nhưng theo đề bài thì Châu chỉ đi 24 bậc là đến lầu 1. Vậy thời gian Châu chạy lên chỉ bằng 24:72 = 1/3 thời gian đi xuống. Trong thời gian này, thang máy đi được (n-12)/3 bậc.

Muốn đi hết cầu thang, Châu phải đi được n bậc ở thời điểm Châu bắt đầu đi lên cùng với số bậc thang mới do thang máy đi xuống tạo ra, tức là (n-12)/3. Từ đây ta có phương trình: n + (n-12)/3 = 24

Giải ra ta được n = 21. Vậy cầu thang có 21 bậc thang (số bậc mà ta thấy ở một thời điểm bất kỳ).

7. Bài toán chơi bài tiền

An và Bình chơi bài. Người thua phải trả 1 USD cho người thắng trong ván đầu tiên, 2 USD trong ván thứ hai, 4 USD trong ván thứ ba và cứ thế (tiền thưởng mỗi lần tăng gấp đôi theo cấp số nhân).

Ban đầu An có 625 USD và sau đúng 10 ván thì An thua hết tiền. An nói với Bình “Nếu chúng ta không chơi theo luật cấp số nhân như vừa rồi, mà chơi theo luật cấp số cộng, tức là ván đầu người thua trả 10 USD cho người thắng, ván 2 trả 20 USD, ván 3 trả 30 USD thì tớ vẫn còn chơi với cậu được vài ván nữa”.

Hỏi nếu chơi theo luật cấp số cộng thì sau 10 ván với kết quả như đã xảy ra, An còn chơi được tối thiểu bao nhiên ván nữa?

8. Bài toán sắp xếp trái banh

Có 10 trái banh được đánh số trong một cái máy xếp banh, dốc nghiêng về phía bên trái. Số trên các trái banh theo thứ tự từ trái sang phải là: 8, 6, 2, 5, 10, 1, 3, 7, 9, 4.

Tùy theo lệnh của bạn, máy có thể nâng 1, 2 hoặc 3 trái banh nằm liên tiếp nhau, đặt chúng vào cuối hàng banh (về phía tay phải) mà không thay đổi thứ tự của chúng, khi đó các quả banh sẽ lăn về phía bên trái.

Liệu rằng với 5 lệnh sắp xếp, ta có thể đặt banh sao cho số trên banh được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải?

Với mỗi hoán vị, ta tạm định nghĩa điểm của hoán vị là số lượng các cặp số nằm cạnh nhau có giá trị liên tiếp. Xét trên lý thuyết, mỗi phép sắp xếp có thể tăng tối đa 2 điểm hoán vị. Hoán vị của đề bài là 0 điểm, hoán vị mục tiêu (1-10) là 9 điểm. Nghĩa là về lý thuyết, dùng 5 phép sắp xếp là khả thi.

Thực tế thì như sau:
8 6 2 [5 10 1] 3 7 9 4
8 6 [2 3] 7 9 4 5 10 1
8 6 7 9 [4 5] 10 1 2 3
8 [6 7] 9 10 1 2 3 4 5
[8 9 10] 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9. Bài toán trong đề thi Olympic lớp 9 của Nga

30 người ngồi quanh một bàn tròn 30 chiếc ghế đánh số 1, 2,..., 30 theo thứ tự. Một số trong họ là Hiệp sĩ, một số là Kẻ lừa dối.

Những bài toán về Hiệp sĩ và Kẻ lừa dối luôn hấp dẫn và cho dù đã giải không ít những bài toán như vậy, chúng ta vẫn có thể rất bất ngờ với những cách phát biểu tươi mới. Xin giới thiệu với bạn đọc một đề thi Olympic Toán lớp 9 của Nga.

30 người ngồi quanh một bàn tròn 30 chiếc ghế đánh số 1, 2,..., 30 theo thứ tự. Một số trong họ là Hiệp sĩ, một số là Kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thật còn kẻ lừa dối luôn nói dối. Mỗi một người có đúng một người bạn trong số những người khác. Hơn nữa, bạn của Hiệp sĩ là Kẻ lừa dối và bạn của Kẻ lừa dối là Hiệp sĩ. Mỗi người đều được hỏi "Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?". 15 người ngồi ở vị trí lẻ trả lời "Đúng".

Tìm số người ngồi ở vị trí chẵn cũng trả lời "Đúng".

Từ đề bài ta suy ra trong 30 người có đúng 15 cặp Hiệp sĩ – Kẻ lừa dối là bạn của nhau. Ta có thể dễ dàng đoán được đáp số của bài toán bằng cách “giả định” 15 người ở vị trí lẻ đều là Hiệp sĩ. Khi đó, dĩ nhiên bạn của họ đều ngồi cạnh họ ở các vị trí chẵn và đều là Kẻ lừa dối, do đó không có ai nói “Đúng”. Đáp số là 0.

Tuy nhiên, đó chỉ là dự đoán đáp số chứ không phải lời giải. Với cách hỏi ở đề bài, ta biết đáp số là 0. Nhưng để khẳng định điều này, ta phải chứng minh chứ không chỉ là đưa ra một ví dụ như vậy.

Nếu chúng ta sa đà vào việc xét vị trí ngồi của 30 người (ai là hiệp sĩ, ai là kẻ nối dối) thì sẽ rất rối vì có nhiều trường hợp xảy ra. Bí quyết của lời giải là ở nhận xét quan trọng sau: Trong 2 người là bạn của nhau, chỉ có đúng 1 người nói “Đúng” cho câu hỏi "Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?".

Thật vậy, nếu có hai người, 1 hiệp sĩ, 1 kẻ lừa dối là bạn của nhau. Xét 2 trường hợp:

1) Nếu họ ngồi cạnh nhau thì Hiệp sĩ sẽ nói đúng, còn Kẻ lừa dối nói “Không”.

2) Nếu họ không ngồi cạnh nhau thì Hiệp sĩ nói “Không”, còn Kẻ lừa dối nói “Đúng”.

Như vậy, vì ta có 15 cặp bạn nên ta có đúng 15 câu trả lời “Đúng”. Vì cả 15 người ở vị trí lẻ đã nói “Đúng” nên tất cả những người ở vị trí chẵn đều nói “Không”. Tức là đáp số bằng 0.

Chú ý rằng ta không biết được trong 15 người ở vị trí lẻ có bao nhiêu người là Hiệp sĩ, có bao nhiêu người là Kẻ lừa dối và họ xếp ở những vị trí nào.

10. Bài toán bóng đá

Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc giải, người ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận và có số điểm bằng tổng điểm của hai đội xếp nhì, ba và bằng tổng điểm của ba đội xếp cuối.

Hãy tìm số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối?

Khi làm bài toán về giải bóng đá, ta thường sử dụng hai sự kiện đơn giản nhưng quan trọng sau đây:

1) Nếu có k đội bóng thi đấu vòng tròn 1 lượt thì số trận đấu giữa họ là k(k-1)/2.

2) Một trận đấu có kết quả phân định thắng thua sẽ mang lại tổng điểm là 3, còn kết quả hòa mang lại tổng điểm là 2.

Quay trở lại bài toán, ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận, suy ra số điểm của đội vô địch không vượt quá 12.

Theo đề bài, điểm của đội vô địch bằng nửa tổng điểm của 5 đội còn lại. 5 đội này thi đấu với nhau 5.4/2 = 10 trận, đem lại ít nhất là 20 điểm. Ngoài ra các đội này còn thắng đội vô địch 1 trận. Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23.

Từ đây suy ra đội vô địch được ít nhất là 11,5 điểm. Vì điểm là chẵn nên từ các lý luận trên, ta suy ra đội vô địch được 12 điểm. Từ đây hai đội nhì, ba có tổng điểm là 12 và 3 đội xếp cuối cũng có tổng điểm là 12. Tổng điểm của tất cả các đội là 36.

Giữa 6 đội bóng có tất cả 15 trận đấu. Nếu tất cả đều phân định thắng thua thì tổng điểm là 45. Nhưng tổng điểm chỉ là 36, suy ra có 45 – 36 = 9 trận hòa.

Như thế trong 10 trận giữa 5 đội còn lại chỉ có 1 trận thắng - thua, còn là 9 trận hòa. Suy ra tổng số trận thắng của 5 đội còn lại là 2 trận (1 thắng đội vô địch và 1 thắng lẫn nhau).

Cuối cùng, ta nhận xét rằng, do đội vô địch không hòa trận nào nên không có đội nào hòa cả 5 trận. Vì vậy, nếu có 1 đội bóng được 5 điểm thì đội bóng đó phải thắng 1 trận. Xét đội xếp thứ tư, nếu đội này được 5 điểm trở lên thì đội xếp thứ 2 và thứ 3 cũng được 5 điểm trở lên.

Như vậy các đội 2, 3, 4 mỗi đội đều thắng ít nhất 1 trận. Mâu thuẫn với kết luận ở phần trên. Vậy đội thứ tư được nhỏ hơn 5 điểm. Vì tổng điểm 3 đội 4, 5, 6 bằng 12 nên ta phải có cả 3 đội 4, 5, 6 đều được 4 điểm.

Vậy đội vô địch được 12 điểm và đội xếp cuối được 4 điểm.

Trên thực tế, điều này có thể xảy ra. Dưới đây ta đưa ra tình huống giải thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đội 1 thắng các đội 2, 4, 5, 6 với tỷ số tương ứng là 2-0, 4-0, 5-0, 6-0 và thua đội 3 với tỷ số 1-0, được 12 điểm.

Đội 2 thua đội 1 với tỷ số 0-2, thắng đội 3 với tỷ số 2-0 và hòa các đội còn lại, được 6 điểm, hiệu số thắng bại 0.

Đội 3 thắng đội 1 với tỷ số 1-0, thua đội 2 với tỷ số 0-2 và hòa các đội còn lại, được 6 điểm, hiệu số thắng bại -1.

Đội 4, 5, 6 thua đội vô địch và hòa tất cả các đội còn lại, được 4 điểm và hiệu số thắng bại tương ứng là -4, -5, -6.

11. Bài toán bước chân của Pi

Pi là một cậu bé hiếu động. Mỗi buổi sáng, khi tỉnh dậy, cậu đều chạy từ lầu 2 xuống lầu 1, bật nhạc nhảy một điệu nhảy để thức cả nhà dậy.


Khi xuống cầu thang, Pi có thể bước 1 bậc hoặc 2 bậc theo một thứ tự tùy ý.


Nếu cầu thang có tất cả 19 bậc thì cậu bé Pi có tất cả bao nhiêu cách xuống cầu thang? Ví dụ nếu cầu thang chỉ có 4 bậc thì Pi có 5 cách xuống cầu thang: (1, 1, 1, 1); (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2).

Ta giải bài này bằng phương pháp dự đoán quy luật. Nếu cầu thang có 1 bậc thì Pi chỉ có 1 cách đi xuống: bước 1 bước 1. Nếu cầu thang có 2 bậc thì Pi có 2 cách bước: bước 2 bước 1 hoặc bước 1 bước 2. Nếu cầu thang có 3 bậc thì Pi có 3 cách bước: (1, 1, 1), (1, 2) hoặc (2, 1).

Thế nếu có 4 bậc thì sao? Mấy cách? 4 à? Không phải. Ngay trong đề bài đã cho ví dụ là nếu có 4 bậc thì có 5 cách mà. Vậy dãy số là 1, 2, 3, 5 chứ không phải là 1, 2, 3, 4.

Vậy với 5 bậc thì đáp số là mấy? Ta nhận thấy, với bước đi đầu tiên, Pi có 2 cách bước: hoặc bước 1 để còn 4 bậc phải bước (sau đó có 5 cách bước để hoàn thành việc đi xuống), hoặc bước 2 để còn 3 bậc phải bước (sau đó có 3 cách để hoàn thành việc đi xuống). Từ đó suy ra với 5 bậc thì ta có 5 + 3 = 8 cách bước.
Cứ lý luận như vậy, ta thu được bảng sau

Vậy đáp số là 6.765 cách.

Như vậy Pi có thể đi xuống nghe nhạc trong vòng 18 năm mà mỗi ngày đều xuống bằng một cách khác nhau.

Dãy số xuất hiện trong lời giải: 1, 2, 3, 5, 8, … được gọi là dãy số Fibonacci, là dãy số có nhiều tính chất thú vị và có nhiều ứng dụng trong thực tế.

12. Bài toán chia bò sữa

Một người cha có 25 con bò, mỗi ngày con thứ nhất cho 1 lít sữa, con thứ 2 cho 2 lít sữa, con thứ 3 cho 3 lít sữa..., và con thứ 25 cho 25 lít sữa. Ông chia số bò đã có cho 5 người con sao cho mỗi người đều được số bò như nhau và mỗi ngày họ cũng thu được số sữa như nhau.

Hỏi người cha đã chia số bò như thế nào?

13. Bài toán vạch ngăn cờ đô mi nô

28 quân của một bộ cờ đôminô được xếp liền nhau thành một hình chữ nhật 7x8. Do vạch ngăn giữa hai ô vuông của một quân đôminô nhìn xa cũng giống như khoảng trống giữa hai quân nên người ta không xác định được vị trí chính xác của các quân.

Hãy thiết lập lại các vạch ngăn cho hợp lý. Mỗi quân đôminô gồm 2 ô vuông, mỗi ô ghi 1 trong các số từ 0 đến 6. Mỗi bộ (a, b) với a ≤ b chỉ xuất hiện đúng một lần.

Bạn chỉ cần nêu ra đáp án mà không cần trình bày lý luận chi tiết. Hãy đề xuất cách ghi đáp án mà không cần dùng hình ảnh.

Đáp án này có thể ghi bằng dòng như sau: 3, 04, 00, 62, 4; 6, 2, 3, 3, 6, 13, 6; 3, 2, 0, 4, 1, 4, 66; 3, 41, 02, 4, 05; 65, 06, 55, 35; 1, 4, 15, 2, 21, 2; 1, 5, 32, 5, 01, 4.

14. Bài toán lớp 5 của Hong Kong

4 chữ số khác nhau có thể tạo nên các số có 4 chữ số. Nếu tổng của số lớn nhất và số nhỏ nhất là 11.359 thì số có 4 chữ số nhỏ nhất là bao nhiêu?

Bình luận:

Bài toán này có “bẫy” chính là phải xét 2 trường hợp của chữ số nhỏ nhất. Nhiều bạn đọc không chú ý sự tinh tế của “bẫy” nên đã vội vàng kết luận đề bài sai.

Gọi số lớn nhất có 4 chữ số là abcd, khi đó a > b > c > d.

Nếu d khác 0 thì số bé nhất có 4 chữ số là dcba, khi đó ta có:

11.359 = abcd + dcba = 1001(a + d) + 110(b + c)

=11(91(a + d) + 10(b + c))

Nhưng do 11359 không chia hết cho 11 nên vô lý.

Từ đó suy ra d = 0 và số bé nhất sẽ là c0ba

Đặt phép cộng trên dưới của abc0 và coba với tổng 11359

suy ra a = 9;b = 3; c = 2 và số bé nhất là 2039

Đáp số: 2039

15. Bài toán từng gây sốt trong cuộc thi lớp 8 của Mỹ

Bài toán đố lấy từ cuộc thi toán nước Mỹ (American Mathematical Competition) dành cho học sinh lớp 8, gọi tắt là AMC 8.

Ba cầu thủ của đội bóng đá nữ trường Trung học Euclid nói chuyện với nhau.

Ashley: Tớ vừa nhận ra rằng số áo của bọn mình đều là những số nguyên tố có hai chữ số.

Bethany: Tổng hai số áo của các bạn là ngày sinh của tớ, các cậu vừa dự còn gì!

Caitlin: Ừ, vui thật, tổng hai số áo của các cậu lại là ngày sinh của tớ, sắp đến rồi đấy.

Ashley: Giờ tớ mới để ý là hai cậu cùng sinh trong tháng này. Và một điều thú vị nữa là tổng hai số áo của các cậu lại đúng bằng ngày hôm nay!

Tìm số áo của mỗi bạn.

Bài toán này đơn giản hơn rất nhiều so với hai bài toán đã được giới thiệu. Hơn nữa, trong kỳ thi AMC, học sinh làm bài bằng hình thức trắc nghiệm với 5 phương án chọn 1. Các bài toán thi AMC thường có tính thực tế cao và được lồng vào những tình huống cuộc sống. Dưới đây là lời giải của bài toán:

Số ngày lớn nhất trong một tháng là 31, và các số nguyên tố có hai chữ số nhỏ nhất là 11, 13, 17.

Số tiếp theo đã là 19 và vì 19 + 13 = 32 nên không thể có số 19.

Vậy ba số áo là 11, 13, 17, và ba tổng đôi một của chúng là 24, 28 và 30.

Vì tất cả các ngày nói đến trong câu chuyện nằm trong cùng một tháng, nên ngày sinh của Caitlin là lớn nhất, tức là bằng 30, ngày hôm nay là 28 và ngày sinh của Bethany là 24.

Từ đó dễ dàng tìm được số áo của Asley là 13, của Bethany là 17 còn Caitlin mang áo số 11.

16. Bài toán trong đề thi học sinh giỏi lớp 9 của Nga

Có 30 người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người trong họ hoặc là hiệp sĩ, hoặc là kẻ nói dối. Các hiệp sĩ luôn nói thật còn những kẻ nói dối luôn nói dối.

Người ta phát cho 30 người 30 tấm thẻ, trên đó có ghi những số nguyên phân biệt. Sau khi nhìn vào những con số trên tấm thẻ của những người ngồi cạnh mình, tất cả 30 người đều nói “Số của tôi lớn hơn số của cả hai người cạnh tôi”.

Sau đó k người trong số 30 người lại nói “Số của tôi nhỏ hơn số của cả hai người cạnh tôi”. Hỏi với k lớn nhất nào thì điều này có thể xảy ra?

Xét người cầm tấm thẻ có số lớn nhất (A) và người có tấm thẻ có số nhỏ nhất (B).

Trong lượt đầu người A nói thật, do đó A là hiệp sĩ.

Trong lượt đầu B nói dối do đó B là kẻ nói dối.

Sang lượt nói thứ hai, A không thể nói câu “Số của tôi nhỏ hơn số của cả hai người cạnh tôi” vì như thế A sẽ nói dối, mà A là hiệp sĩ. B cũng không thể nói câu “Số của tôi nhỏ hơn số của cả hai người cạnh tôi” vì như thế B sẽ nói thật, mà B là kẻ nói dối.

Vậy k ≤ 30 – 2 = 28.

Ta chỉ ra một tình huống mà k có thể bằng 28: Giả sử 30 người xếp quanh bàn theo chiều kim đồng hồ và được nhận các số từ 1 đến 30, theo thứ tự, trong đó người có số 30 là hiệp sĩ, những người còn lại là kẻ nói dối.

Như vậy ở lượt đầu thì ai cũng có thể nói “Số của tôi lớn hơn số của cả hai người cạnh tôi”, còn ở lượt 2 thì tất cả mọi người, trừ người có số 30 (hiệp sĩ) và người có số 1 (kẻ nói dối), đều có thể nói câu “Số của tôi nhỏ hơn số của cả hai người cạnh tôi”.   

Vậy giá trị lớn nhất của k để điều này có thể xảy ra là k = 28.

17. Bài toán thang máy

Một tòa nhà chung cư có 4 thang máy. Mỗi thang máy có 3 điểm dừng tại các tầng trong đó tính cả tầng 1.

Với mỗi cặp 2 tầng bất kỳ, luôn có ít nhất 1 thang máy dừng ở cả 2 tầng đó.

Tính số tầng tối đa của tòa nhà?

Tất cả có 12 lần thang máy dừng.

Giả sử toà nhà có 6 tầng. Theo Nguyên lý Drichle luôn có tầng M nào đó mà nhiều nhất là 2 thang máy dừng ở M.

Mỗi thang máy kết nối tầng M với 2 tầng khác, do đó có nhiều nhất 4 trong số 5 tầng khác kết nối với tầng M.

Suy ra có ít nhất một tầng không kết nối với tầng M, loại.

Từ đó, nếu có lớn hơn 6 tầng thì không thể sắp xếp các thang máy thỏa mãn.

Do đó có nhiều nhất là 5 tầng.

Bây giờ ta chỉ ra một trường hợp 4 thang máy kết nối 5 tầng thoả mãn yêu cầu bài toán: Thang máy thứ nhất dừng ở các tầng (1, 4, 5); thang máy thứ hai dừng ở các tầng (2, 4, 5); thang máy thứ ba dừng ở các tầng (3, 4, 5) và thang máy thứ 4 dừng ở các tầng (1, 2, 3).

18. Bài toán chia kim cương

Có 5 người chia nhau 83 viên kim cương. Mỗi người đều nhận được kim cương và không có 2 người nào nhận cùng một số viên kim cương.

Tất cả hiệu số viên kim cương của hai người bất kỳ nhận được cũng khác nhau. Hơn nữa, cứ 3 người bất kỳ thì có số viên kim cương lớn hơn 1/2 tổng số kim cương của cả 5 người.

Hỏi số kim cương của người nhận được ít nhất là bao nhiêu?

19. Bài toán bẻ chocolate

Bài toán thoạt nhìn có vẻ phức tạp này lại có lời giải vô cùng đơn giản. Thật ra, ta có thể biết ai thắng ai thua ngay từ đầu khi biết m, n mà không cần chơi. Cụ thể thế này.

Ta thấy mỗi lần bẻ thì số mẩu chocolate tăng lên một đơn vị. Ban đầu ta có một thanh chocolate. Đến lúc không bẻ thêm được nữa ta có 24 thanh chocolate. Như vậy ta phải bẻ 23 lần thì đến tình huống không bẻ được nữa. Do đó người đi trước thắng.

Với thanh 3x5, ta phải bẻ 14 lần và lần thứ 14 sẽ là lượt của người đi sau, do đó ở bước thứ 15 người đi trước không bẻ được nữa và thua.

Nói chung, nếu m x n chẵn thì người đi trước thắng, m x n lẻ thì người đi sau thắng.

Và khi đã biết trước kết quả như vậy, ta có thể bẻ theo một trình tự tùy ý mà không cần một chiến thuật nào.

20. Bài toán Lập số từ chữ số

Có bao nhiêu số có 10 chữ số, lập từ các chữ số 1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện: Hai chữ số cạnh nhau cách nhau 1. Ví dụ số 1212121212 là một số như vậy.