Bài toán - Sắp tết vật giá lại tăng

Một câu đố thuộc thể loại toán học. Bài toán này sẽ cần kiến thức toán học nhất định nên không thể chỉ giải bằng cách suy luận thông thường! Hy vọng với những bạn yêu thích toán đây sẽ là một câu đố hay. Nếu có thắc mắc hoặc cần gợi ý hãy để lại nhận xét.

Ở một đất nước nọ với nền kinh tế tự cung tự cấp không giao thương với nước ngoài, ông vua thông thái muốn chuyển từ tiền xu sang tiền giấy, bèn cho phát hành 2 loại tiền 9 đồng và 11 đồng.

Nhưng khi tiền sản xuất gần xong sắp đưa ra sử dụng ông chợt nhận ra mình cũng không thông thái lắm vì chỉ với 2 loại tiền này không thể trả được mọi loại gí trị mặt hàng. Chẳng hạn như mặt hàng có giá 10 đồng, 12 đồng...

Nhưng ông vua không muốn nhận mình sai sau khi tính toán kĩ lưỡng bèn nhân dịp tết tăng giá chung cho mọi loại mặt hàng thêm X đồng. ( Khi tăng giá mặt hàng lên một mức nhất định sẽ không còn mặt hàng nào không thể trả được nữa ). Ví dụ ban đầu 1 cân thịt có giá 25 đồng giờ thành 25+X đồng.

Đương nhiên để tránh gây xôn xao dư luận X càng nhỏ càng tốt.

Biết: Hiện tại giá 1 mớ rau đang là 10 đồng (mặt hàng rẻ nhất hiện tại) và tất nhiên không có kiểu giá trị số thập phân ở đây (10,54 đồng, 25,52 đồng...).

Câu hỏi: X có giá trị là bao nhiêu ?

Câu đố được gửi bởi bạn đọc.

Để tìm X trước hết ta tìm giá trị lớn nhất mà chỉ với 2 loại tiền 9 đồng và 11 đồng không trả được.

Giả sử số A = 9a + 11b
=> A = 9(a+11n) + 11(b-9n) = 9(a-11y) + 11(b+9y) Với x, y bất kì.

Và vì 9 và 11 không có ước chung khác 1 => Nếu A = 9a + 11b

Khi tăng a và giảm b thì cặp số gần nhất, tiếp theo thỏa mãn là A= 9x(a+11) + 11(b-11)

Tương tự giảm a tăng b thì A = 9(a-11) + 11(b+9)

Với 1 giá trị A không thể trả được tức là phương trình A = 9a + 11b không có giá trị a,b nguyên, không âm.

Ta biết:

- Với mọi giá trị A đều tồn tại giá trị nguyên ( âm hoặc dương) a,b sao cho A = 9a + 11b
( Ví dụ 1 số K bất kì thì đều có 1 cặp giá trị kiểu K = 5K x 9 - 4K x 11 )

- Giá trị A này chỉ tồn tại những cặp (a,b) hoặc a âm hoặc b âm 9 ( đương nhiên không thể cả 2 cùng âm vì giá tiền cần trả đương nhiên dương )

Giả sử ban đầu A = 9a + 11b có a âm ( thêm bớt và giá trị nhân với 9 và 11) => a+11n dương thì b-9x lại âm

Thêm, bớt vừa đủ => a + (11x-1)<0 và a+11n>=0 <=> -11n <= a < 11-11n
b-9x < 0 <=> 0 < b < 9x

Để A cực đại => a,b phải lớn nhất => a = (11-11n) -1 và b = 9n -1
=> A = 9x(10-11n) + 11x(9n-1) = 79

Vậy với 2 loại tiền này ta luôn trả được mọi loại giá từ 80 trở nên
=> X = 70